If a, b, and c are integers, is 2a - b + c greater than a - b - 2c?
I. a is positive
II. c is positive

প্রশ্নটি হলো: \(2a - b + c\) কি \(a - b - 2c\) এর চেয়ে বড়?

প্রদত্ত অসমতাকে সরল করে নিই:

\(2a - b + c > a - b - 2c\)

উভয় পক্ষ থেকে \(-b\) যোগ করে (বা \(-b\) বাদ দিয়ে):

\(2a + c > a - 2c\)

উভয় পক্ষ থেকে \(a\) বিয়োগ করে:

\(a + c > -2c\)

উভয় পক্ষে \(2c\) যোগ করে:

\(a + 3c > 0\)

সুতরাং, প্রশ্নটি হল: \(a + 3c > 0\) কিনা?

দেওয়া আছে: \(a, b,\) এবং \(c\) পূর্ণসংখ্যা।

১. প্রথম বিবৃতি (Statement I) পরীক্ষা:

বিবৃতি I: \(a\) ধনাত্মক। (\(a > 0\))

যদি \(a\) ধনাত্মক হয়, তাহলে \(a\) এর সর্বনিম্ন মান \(1\) হতে পারে (যেহেতু \(a\) একটি পূর্ণসংখ্যা)। কিন্তু \(c\) সম্পর্কে কোনো তথ্য দেওয়া নেই।

    
• যদি \(a = 1\) এবং \(c = 1\) হয়, তাহলে \(a + 3c = 1 + 3(1) = 4\)। \(4 > 0\), যা শর্ত পূরণ করে।
    
• যদি \(a = 1\) এবং \(c = -1\) হয়, তাহলে \(a + 3c = 1 + 3(-1) = 1 - 3 = -2\)। \(-2 > 0\) নয়, যা শর্ত পূরণ করে না।
    
• যদি \(a = 10\) এবং \(c = -5\) হয়, তাহলে \(a + 3c = 10 + 3(-5) = 10 - 15 = -5\)। \(-5 > 0\) নয়, যা শর্ত পূরণ করে না।

যেহেতু \(c\) এর মানের উপর নির্ভর করে \(a + 3c\) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, তাই শুধুমাত্র প্রথম বিবৃতি পর্যাপ্ত নয়।

২. দ্বিতীয় বিবৃতি (Statement II) পরীক্ষা:

বিবৃতি II: \(c\) ধনাত্মক। (\(c > 0\))

যদি \(c\) ধনাত্মক হয়, তাহলে \(c\) এর সর্বনিম্ন মান \(1\) হতে পারে (যেহেতু \(c\) একটি পূর্ণসংখ্যা)। কিন্তু \(a\) সম্পর্কে কোনো তথ্য দেওয়া নেই।

    
• যদি \(c = 1\) এবং \(a = 1\) হয়, তাহলে \(a + 3c = 1 + 3(1) = 4\)। \(4 > 0\), যা শর্ত পূরণ করে।
    
• যদি \(c = 1\) এবং \(a = -5\) হয়, তাহলে \(a + 3c = -5 + 3(1) = -5 + 3 = -2\)। \(-2 > 0\) নয়, যা শর্ত পূরণ করে না।
    
• যদি \(c = 10\) এবং \(a = -30\) হয়, তাহলে \(a + 3c = -30 + 3(10) = -30 + 30 = 0\)। \(0 > 0\) নয়, যা শর্ত পূরণ করে না।

যেহেতু \(a\) এর মানের উপর নির্ভর করে \(a + 3c\) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, তাই শুধুমাত্র দ্বিতীয় বিবৃতি পর্যাপ্ত নয়।

৩. উভয় বিবৃতি (Statement I এবং Statement II) একত্রে পরীক্ষা:

বিবৃতি I: \(a > 0\)
বিবৃতি II: \(c > 0\)

যেহেতু \(a\) এবং \(c\) উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং ধনাত্মক, তাই:

    
• \(a \ge 1\)
    
• \(c \ge 1\)

এখন, আমরা \(a + 3c\) এর মান পরীক্ষা করব:

যেহেতু \(a \ge 1\), এবং \(c \ge 1\), সেহেতু \(3c \ge 3(1) \Rightarrow 3c \ge 3\)।

অতএব, \(a + 3c \ge 1 + 3 \Rightarrow a + 3c \ge 4\)।

যেহেতু \(a + 3c \ge 4\) এবং \(4 > 0\), সেহেতু \(a + 3c\) সর্বদা \(0\) এর চেয়ে বড় হবে।

সুতরাং, উভয় বিবৃতি একত্রে প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য যথেষ্ট।

প্রদত্ত বিকল্পগুলির সাথে মিলিয়ে:

    
• ক. Statement I alone is sufficient, but statement II alone is not sufficient.
    
• খ. Statement II alone is sufficient, but statement I alone is not sufficient.
    
• গ. Both statements I and II together are sufficient to answer the question, but neither statement alone is sufficient.
    
• ঘ. Each statement alone is sufficient to answer the question.

আমাদের বিশ্লেষণ অনুযায়ী, শুধুমাত্র উভয় বিবৃতি একত্রে প্রশ্নটির উত্তর দিতে সক্ষম। অতএব, সঠিক বিকল্প হল গ।